Thresholding
Minden pixel értékét egy küszöbérték felett 1-re, alatta 0-ra változtatjuk. Képfeldolgozáskor általában 1 helyett 255 értékűre van írva az előtér, 0 értékűre a háttér, vagyis az objektumokat tartalmazó pixelek fehérek, a többi pedig fekete. Ekkor bináris kép keletkezik, amelyet könnyen lehet elemezni. A küszöbérték meghatározása a felhasználó feladata, de vannak algoritmusok annak automatikus megtalálására (pl. Otsu módszere).
Adaptív Thresholding
Ha a háttér intenzitása nem egyenletes a képen, akkor lokális, másnéven adaptív módszerrel eredményesebb lehet a bináris kép előállítása. Minden képpont egyedi küszöbértéket kap a környezetében lévő intenzitások súlyozott átlaga alapján. Ez a módszer nyilvánvalóan lassabb, mint egy globális küszöbérték használata.
Terület és középpont
Képek feldolgozásakor integrálás vagy deriválás helyett diszkrét műveletek vannak, mivel egy kép függvénye nem folytonos. Bináris képeken egy objektum területe a fehér képpontok száma, középpontjának koordinátái pedig a fehér képpontok koordinátáinak átlaga a két tengelyen.
$ A = \displaystyle\sum_{y=1}^{H} \displaystyle\sum_{x=1}^{W} I(x,y) $
$ \bar{x} = \dfrac{1}{A} ⋅ \displaystyle\sum_{y=1}^{H} \displaystyle\sum_{x=1}^{W} x ⋅ I(x,y) $
$ \bar{y} = \dfrac{1}{A} ⋅ \displaystyle\sum_{y=1}^{H} \displaystyle\sum_{x=1}^{W} y ⋅ I(x,y) $
Objektum dőlésszöge: PCA
Bináris képen lévő objektum dőlésszögének meghatározására több módszer létezik, ezekből az egyik a PCA, vagyis Principal Component Analysis. Ezt többdimenziós adatok dimenzióinak redukálására használják az adattudományban, de mivel az első főkomponens egy kétdimenziós képen a dőlésszög, így erre az egyszerű feladatra is megfelel. Matematikailag a dőlésszög annak az egyenesnek az x-tengellyel bezárt szöge, amely áthalad a középponton és az objektum pontjaitól mért távolságok összege minimális.
1. lépés: Pontok eltolása
Az első lépés a PCA során a pontok eltolása úgy, hogy az új koordináta-rendszer origója a középpont, vagyis minden pont koordinátáiból ki kell vonni a középpont koordinátáit. A számolás az új pontokon folytatódik.
$ (2,3) \boldsymbol{\rightarrow} (-2,-1.6) $
$ (3,3) \boldsymbol{\rightarrow} (-1,-1.6) $
$ (4,4) \boldsymbol{\rightarrow} (0,-0.6) $
$ (5,5) \boldsymbol{\rightarrow} (1,0.4) $
$ (6;8) \boldsymbol{\rightarrow} (2,3.4) $
2. lépés: Kovarianciamátrix
A kovarianciamátrix átlóján az egyes dimenziók varianciája, másnéven szórásnégyzete található, a mátrix többi eleme pedig az egyes dimenziópárok kovarianciája. Két dimenzió kovarianciája megmutatja, hogy azok mennyire mozognak együtt, vagyis mennyire van közöttük lineáris összefüggés. A mátrix tehát megpróbálja egyszerűen rögzíteni a dimenziók egymás közötti összefüggéseit. Képek esetén mérete 2×2.
$ C = \begin{pmatrix} Var(x') & Cov(x',y') \\ Cov(x',y') & Var(y') \end{pmatrix} $
$ Var(x') = \dfrac{1}{n} ⋅ \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i')^2 $
$ Var(y') = \dfrac{1}{n} ⋅ \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (y_i')^2 $
$ Cov(x',y') = \dfrac{1}{n} ⋅ \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i' ⋅ y_i' $
$ C = \begin{pmatrix} 2 & 2.4 \\ 2.4 & 3.44 \end{pmatrix} $
3. lépés: Sajátértékek
Ha egy vektor és egy mátrix össze van szorozva, az eredmény egy újabb vektor, amely az eredetihez képest kétféle változást szenvedhetett el: megváltozhatott a hossza és iránya. Ha adott a mátrix és keresünk hozzá egy olyan vektort, aminek nem fog a szorzás hatására megváltozni az iránya, akkor a mátrix sajátvektorát keressük. Cserébe a sajátvektor az a vektor, amelynek hossza a legnagyobbat változik. A sajátérték azt adja meg, hogy milyen mértékű ez a hosszváltozás. Először a sajátértékeket kell kiszámolni.
$ det(C - \lambda ⋅ I) = 0 $
$ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $
$ det \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 2.4 \\ 2.4 & 3.44 - \lambda \end{pmatrix} = 0 $
A fenti képletekből végül egy másodfokú egyenlet alakul ki, amelynek két megoldása közül a dőlésszöget a nagyobbikból, vagyis a nagyobb jelentősséggel bíró sajátvektornak a sajátértékéből lehet majd kiszámolni.
$ \lambda_1 = 5.226 $
$ \lambda_2 = 0.214 $
4. lépés: Dőlésszög meghatározása
Ismert a sajátérték, így ki kell számolni a hozzá tartozó sajátvektort. Behelyettesítés után a képlet megadja az első főkomponenst (PC.1), de fontos, hogy a sajátvektor nem lehet nullvektor. Az első főkomponens, vagyis a legnagyobb sajátértékhez tartozó sajátvektor egy bináris képen az objektum irányvektora, amelyből könnyen számolható a dőlésszög is. A méret, középpont és dőlésszög ismeretében például egy kamerával szerelt robot magabiztosan rá tud fogni objektumokra. A PCA számítógéppel milliszekundumok alatt lefuthat.
$ (C - \lambda ⋅ I) ⋅ \vec{v} = 0 $
$ \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 2.4 \\ 2.4 & 3.44 - \lambda \end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $
$ \begin{pmatrix} -3.226 & 2.4 \\ 2.4 & -1.786 \end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $
$ PC. 1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1.344 \end{pmatrix} $
$ \varphi = atan2(1.344, 1) = 53.35° $